La paradoja de la cinta elástica

ENUNCIADO

Nos encontramos con una esfera perfectamente lisa con un millón de veces el tamaño de nuestro sol. Una banda de acero abraza estrechamente a esta esfera alrededor del ecuador. A esta banda de acero se le agrega 1 metro, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo su contorno. Esto dejará la banda despegada de la esfera a una altura suficiente como para poder:

1. ¿Deslizar un papel bajo la banda?
2. ¿Deslizar una mano bajo la banda?
3. ¿Deslizar una pelota de tenis bajo la banda?

Aunque a priori la respuesta que daríamos es que es imposible siquiera que un papel pase bajo la banda, la respuesta correcta es que se puede incluso pasar la pelota de tenis, ya que la banda se despega de la esfera unos 16 cm.

EXPLICACIÓN

La altura a la que se elevará la banda de la esfera es la misma independientemente del tamaño de la esfera, por muy grande que sea. El porqué de este hecho es el siguiente: cuando la banda de la esfera está tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia de un círculo con un radio que es el radio de la esfera. Sabemos a partir de la geometría plana que la circunferencia de un círculo es igual a su diámetro (que es el doble de su radio) multiplicado por pi.

Pi es 3'14159... es decir, ligeramente mayor que 3. Por tanto, si aumentamos la circunferencia de cualquier círculo en 1 metro, debemos incrementar el diámetro un poquito menos que el tercio de metro, es decir, algo más de 31 cm. Eso significa que el radio aumentará 16 cm.

Esto funciona con esferas de cualquier tamaño, ya sean 1000 billones de veces el tamaño del Sol o del tamaño de una naranja. Parece increíble. A mí aún me cuesta creerlo y no llego a visionarlo. Con una naranja, pones 1 metrón y vale, se eleva 16 cm, lógico, la naranja se ve asediada por todo 1 metrón, normal, pero... ¿con una esfera billones y billones de veces el tamaño del sol? ¿Cómo un simple y diminuto metro puede aumentar en 16 cm la cinta alrededor de una circunferencia casi infinita? Démosle la vuelta: tenemos una cinta elevada 16 cm por todos los sitios de la circunferencia de una esfera billones y billones de veces el tamaño del sol. Le cortamos con una tijera 1 simple metro y qué pasa...¿ya se amolda completamente a toda la circunferencia? ¿Dónde se han metido todos esos billones de metros de espacio que había entre la circunferencia y los 16 cm de altura? ¿Han sufrido una despresurización y han desaparecido? No se entiende. Jamás entenderé esta paradoja. Me parece increíble.